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数学游戏

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第九讲数学游戏游戏对策问题因常与智力游戏相结合,因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活,技巧性强、所以对开阔解题思路,提高分析问题解决问题的能力是很有益处的.
例1 在一个3×3的方格纸中、甲乙两人轮流(甲先)往方格纸中填写九个数中的一个,数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和、乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和、得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略.
分析把题中的九个格标上字母
甲的得分为:abcghi
乙的得分为:adgcfi要想使甲的得分高于乙的得分,必须且只需使bh>df.要想使bh>df,甲有两种策略:一是增强自己的实力使b,h格内填的数尽可能地大;二是削弱对方的实力使d,f格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论:取胜的总策略是增强自己,削弱对方两者兼顾.
为了使叙述方便起见、我们分别用(甲2)和(a5)分别表示甲第二轮和在a处填数字5,其余如(乙1),(甲1,b10)等含义类同.
一、甲首先使b,h处填的数尽可能大.譬如,(甲1,b10).
1.乙为了不输,(乙1)必须在h处填数.(否则,即如(乙1)不在h处填数,(甲2)在h处填余下来的最大数后,无论(乙2)怎么填、最后总有bh≥108=18>16=97≥df,甲胜).这样,必须(乙1,h1).(乙当然在h处填最小数)
2.(甲2)不能在d处或f处填数.(否则,如(甲2,dx),x为任一数,则(乙2)在f处填余下来的最大数后,即有df≥39=12>11=101=bh,乙胜).当然(甲2)填9,譬如(甲2,eg).(以后,只要甲不填错,即只要把余下数中的最小者填入d或f,就不会输了)
3.显然,(乙2,d8),乙就不会输了.因此不分胜负(此时(甲3)必须(f3)).
同样,若(甲1,h10),只要乙应对正确,乙就不会输.因此,只有
二、甲首先使d,f处填的数尽可能小(才有可能必胜).譬如,(甲1,d1).
1.若(乙1)不在f处填数时,(甲2)在f处填余下来的最小数,则最后必有bh≥35=8>5=14≥df,甲胜.
2.若(乙1,f10)(乙当然在f处填最大数),则(甲2,b9),最后必有bh≥93=12>11=110=df,甲胜.因此,只要(甲1,d1),且以后甲每次应对正确,则甲必胜.
解:甲第一轮采用削弱对方策略,把1填入d格(或f格)内、以后无论乙怎样填、甲第二轮随机应变,只要把尽可能大的数填入b或h格内、或者把尽可能小的数填入f格(或d格)内(在乙没有在f或d格内填数的情况下),甲都能获胜.
例2 在4×4的方格纸上有一粒石子,它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏,由甲开始,二人交替地移动这粒石子,每次只能向上,向右或向右上方移动一格,谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗如果要取胜,应采取什么办法分析见右图,采用倒推法.甲要取胜,就必须使乙在移动最后一次石子后,石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中、即.而移动一次石子,石子必定落在这三个方格之一的方格只有和、即和必须由甲来占领.
这样,如一开始分析的那样,就必须使乙在某一次移动石子后,石子落在再移动一次就能移到或的那些方格中、即.而从哪些方格(除了和外)中移动一次石子,石子必定落在之一中呢只有用.因此甲第一次移动石子就必须把石子从左下角移到中.
这样,所有的格子被分成胜位和负位.自然,上图中的和也是负位.即,谁占据胜位、谁将获胜(若此后他不失误);谁占负位、谁将失败(若此后对方不失误).
解:由以上的分析和上图知,甲要取胜,必须向右上走一格.然后,乙如果向上走,甲也向上走;乙向右走,甲也向右走;乙向右上走,甲也向右上走.总之,甲走完第一步以后,乙朝哪个方向走,甲就朝哪个方向走,这样甲就能取胜.
如果是5×5的方格,甲要取胜,应采取怎样的策略呢根据例2的分析,我们仍用表示胜位、表示负位、如右图所示.因此,先移动石子者必输第一次他只能把石子移动到负位.
例3 甲乙两人玩下面的游戏:有两堆玻璃球、一堆8个,另一堆9个,甲乙两人轮流从中拿取,每次只能从同一堆中拿,个数0)不限.规定拿到最后一个球的人为输.问如果甲先拿,他有无必胜的策略分析解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起,逐渐找出规律或找出解来.
为了便于叙述,我们用(m,n)表示两堆球、其中一堆有m个,另一堆有n个.
我们从最简单的情况(1,0)开始讨论.显然,谁拿过球后两堆球成为(1,0)的状况,则对方必败,因为此时对方只有唯一的一种选择拿走最后一个球.因此(1,0)是胜位、即谁造成这个局面谁必胜.把这种情形简记为
①(1,0),胜位.
②(a)(n,0),负位、其中n>1;
(对方只需在n个球的那堆中拿走n1个,对方就造出(1,0)局面,因而对方胜).
显然,(b)(1,1),负位;
(c)(n,1),负位、其中n>1.
(对方只需在n个球的那堆中的球全拿走,就造出(1,0)局面.)此外,
③(2,2),胜位.(对方拿走1个变(2,1),即②(c)中的情形;拿走2个变(2,0),即②(a)中的情形.对方均负).因此
④(n,2),负位、其中n>2.
(对方只需在n个球的那堆中拿走n2个,对方就占据了胜位(2,2).)与③类似,有
⑤(3,3),胜位.(对方一次拿走任意多个后必变为②(a),②(c),④三种负位之一.)因此
⑥(n,3),负位、其中n>3.
(对方只需在n个球的那堆中拿走n3个,对方就占据了胜位(3,3).)还有
⑦(4,4),胜位.(对方一次拿走任意多个后必变为②(a),②(c),④,⑥四种负位之一.)因此
⑧(n,4),负位、其中n>4.
(对方只需在n个球的那堆中拿走n4个,对方就占据了胜位(4,4).)如此等等、因此,当两堆球的个数相等但不等于1,或只有一堆球、其中只有一个球时,先拿的必输;当个数不相等但不是(1,0),或两堆各有1个球时,先拿的必胜(当为(n,0)时,拿走n-1个球;当为(n,1)时,拿走n个球;否则,从多的一堆中拿走一些、使两堆个数相等).
解:如果甲先拿,甲有必胜的策略.甲的具体做法是:从9个球的那一堆中拿1个,使两堆球数相等、都是8个.
此后,乙从一堆中拿球、甲就从另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿走,那么甲就比乙少拿一个即可(即就剩下一个球);如果乙使得一堆球就剩下一个球、那么甲就把另一堆球都拿走;否则,当乙拿几个时,甲也拿同样多的个数.在前两种情形,因为只剩下一堆球、而且这堆中只有一个球、因此乙必输;在后一种情形两堆球的个数相同、只是比原来少了.
这样,如果每次都是后一种情形,那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面.这时,乙只有两种选择:拿2个或拿1个,然后,甲拿1个或拿2个,乙也必输.
说明:我们也可用例2的分析中的思考方法来解这道题.先如右图画一表格.其中有的格子表示两堆球的个数分别为3和5.这个方格记为(3,5)(第四行第六列).显然.(5,3)(第六行第四列)的含义与(3,5)一样(行、列分别为从下到上,从左到右编序).我们的问题转化为:
在(8,9)格中有一石子(即有两堆玻璃球、一堆8个,另一堆9个),甲乙两个轮流移动石子(即甲乙两人轮流从中拿球)、每次只能向下或向左移动(即每次只能从一堆中拿),格数不限(即个数不限).规定把石子移到(0,0)格(即左下角)的人为输(即规定拿到最后一个球的人为输).问如果甲先移(即甲先拿),他有无必胜的策略按照例2分析中的思路,我们把解答填在右面的表格里、其中的-分别表示该格为胜位和负位.如,(1,0)格中的表示谁把石子移动到这一格即会胜.在表格中除了是胜位外,其余所有的胜位为(n,n),n=而(8,9)格是负位.因此,开始时石子在(8,9)格中时,如甲先移,甲有必胜的策略,即甲必胜把石子移到一个标有的格子,即移到(8,8)格中.此时,无论乙怎样移动石子(只要按规定移),他必把石子移到负位.接着、甲又能把石子移到胜位.最后,甲必能把石子移到(1,0)格或(0,l)格.因此甲必胜.
请同学们自己推导一下上述填-的过程,并把移石子的必胜策略翻译成取玻璃球的策略.
习题九
1.如果把例1中的九个数改为注意缺少9),得分少者为胜,甲先填、请你为甲找出一种必胜的策略.
2.甲乙两人玩轮流从右图中选数的游戏,谁选的数中有三个在同一条直线上(即和为15),谁就胜.先选的人有没有必胜的方案
3.把例2分别改成在8×8和9×9方格纸上,甲乙两人交替将右上角石子移到左下角,其他规则不变,问谁能有必胜策略
4.甲乙两人玩下面的游戏:有三堆玻璃球、A堆有29个,B堆有16个,C堆有16个,甲乙两人依次从中拿取,每次只许从同一堆中拿,至少拿一个,多拿不限,规定拿最后一个者为输.问如果甲先拿,他有无必胜的策略

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