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假设测定:一个样本之假设测定

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第八章假设测定Ι:一个样本之假设测定壹、本单元目标
1, 明假设测定(hypothesis testing)的辑.
2, 定义并解释假设测定所涉及之关键概,特别是虚无假设(the null hypothesis),抽样分配、显著水准(the αlevel),测定统计(the test statistic).
3, 解释何谓「拒绝虚无假设」或「无法拒绝虚无假设」.
4, 明何时适用一个样本的假设测定.
5, 以5个步骤测定一个样本平均及比之显著,并明测定结果的意义.
6, 明一尾及尾测定之同、并解释者各自适用的时机.
7, 定义并解释Type I及Type II错误,并结这些概与αlevel 的关系.贰,导上个单元介绍以样本统计值估计母的一些基本技巧.自本单元起,则开始谈推统计的另一个大任务,即假设测定或显著测定(significance testing).在此,先就和一个样本有关之假设测定加以讨.何种情况会用到一个样本的假设测定呢以下
是三个适用此假设测定子:
1,一个研究者想要知道人成为犯罪被害人的比、是比一般人多或少.如果研究者抽样得到一个人样本,也从政府得到去全部人口中犯罪被害人的比时,就可以进一个样本的假设测定.
2,住宿生的平均成绩是否与整体学生的平均成绩同研究者可以对住宿生进样本,然后与学校提供的整体学生的成绩资做比较.
3,研究者想要知道某市一项协助酗酒者的方案是否有效时,此研究者可以对此方案服务的所有案主进抽样,并询问其包括工作情况在内的各项资.如果此研究者发现与此方案的案主与全市工作人口相比、其全没有去工作的天比较少时,研究者可以用一个样本的假设测定的推统计, 看是否经过方案协助的酗酒者、在工作上是否与一般人一样可靠.上述的子, 是研究者在成本或时间等因素的限制下,以随机抽样方式得到一个样本后,就此样本的某一特性,进与母群体的特性做比较.要注意的是,我们所关心的,并是样本本身、而是此样本所自的团体( 人、住宿生, 与方案的酗酒者).我们想知道的是,此样本所自的团体的某一特性,是否与母群体在同一特性(犯罪受害比、平均成绩,全工作天)上有所同.贰, 假设测定的辑简言之,一个样本假设测定的推任务,是根据一个自某一大团体的随机样本与一个母群体间比较的结果, 推此团体是否与母群体在某一特性上同. 如,如果研究者以假设测定的作法,发现抽样得到之127位与协助酗酒者方案的全工作缺席平均天为6.8天,而整个城市工作人口的平均工作缺席天(μ)是7.2天,标准差(σ)是1.43.则此研究者可以推,整个与协助方案者的平均缺席天是「显著」比整个人口的少.图1 一个样本平均的假设测定所有与方案者(μ= ) 全市工作者(μ= 7.2;σ=1.43)与方案者样本相同或同由所有与者中抽样
7.2与6.8是否达统计显著差这所谓的「显著」(significant)是一个统计观,其意思是我们样本与全市工作人口间在平均缺席天上的差,并可能是随机(random chance)造成的.之所以有此法,是因为我们得到的样本只是所有可能样本中的一个.我们得到的样本即使是以EPSEM程序抽样而得的,也并能绝对保证代表性.因此,我们以一个样本做任何推时, 有些确定性.推统计的好处,就是可以让我们针对推结果,估计出我们可能犯错的机.以图1所示意的为、当样本得到的平均缺席天与母群体同
时,研究者要问的是:这个差是真的吗还是因为random chance所造成的换言之,我们有个可能的解释(或假设):
解释1:样本平均与全市工作者平均的差真的是反映全部与方案者与全市工作者间的差.也可以,样本所自的母群体并是自一个平均缺席天为7.2天的母群体.
解释2:我们观察到的差是random chance所造成的.换言之,我们看到的差并大.有此可能性,是因为只要依照同样的抽样过程而得到的样本,就相当可能会得到这种大小的差.因此,全部与方案者与全市工作者在平均缺席天是一样的.以上个解释,何者为正确的在假设测定的过程中、我们是以「解释2」为正确的,做为假设测定的起点.也就是,我们是假设与方案者的全平均缺席天是7.2天(亦即μ=7.2;事实上这也是目前对於母群体唯一能掌握的讯息).在此假设下,我们就可进一步的计算出、从这样的一个母群体中、得到一个平均是6.8之样本的机有多大.在判定是否要拒绝「解释2」以前、我们要先下做客观判断的规则.这个规则就是要先决定当得到这种样本的机是多大时,我们就会拒绝或拒绝「解释2」.从保守的角出发,如果我们要拒绝「解释2」的话、那就应该在将此样本发生的机定的偏低,如低过百分之5(p≤0.05)的情况下,才会拒绝「解释2」.换言之,在做假设测定时,我们是在赌、如果我们实际得到之样本的发生机相当偏低,那0我们比较有信心认为这个样本并非自所假定的母群体.我们如何在假设「解释2」为正确的前提下,计算出样本平均是6.8的发生机呢这时就要用到由所有可能样本所组成之抽样分配的知.依照中央极限定,当我们所用的样本够大时,我们可以假定样本平均的抽样分配是常态的,而且此抽样分配的平均就是母.如依「解释2」、则自母群体之平均为7.2之所有可能样本平均之抽样分配的平均也是7.2(μ=μ),而且此抽样分配之标准差(σx)是知道这些知后,下一步就要用我们对於标准化常态分配的知.首先,我们知道当一个样本平均发生机小於0.05时,在标准化常态分配中、如果将此机等分在尾,则相对应的Z分是±1.96.当我们在「解释2」的假定下,换算我们得到的样本平均6.8为Z分时,是以Nzσ=的公式计算.(为0 )因此,样本平均为6.8之Z分为
- 3.15.以图看,就如下图所示:图2 样本平均之抽样分配及相对应之Z分由图2可看出、当假设「解释2」为正确的前提下,一个样本之X= 6.8时,其发生的机是小於0.05的.所以,在此情况下,我们就可以推,这个127名与方案者的样本,在工作缺席天的特性上,是自一个与全市工作者同的母群体.也就是,我们可以拒绝「解释2」.做此推时,我们要记得这推是建在一个随机样本的资讯上.虽然机大,但此样本有可能并具代表性,因而我们仍可能做出错误的推.但是只要依照假设测定的一定步骤,我们也知道,从长远的角看,犯错的机是只有0.05.换言之,我们拒绝「解释2」、但「解释2」却是正确的可能性,是100次中只有5次有此可能.假设测定的五个步骤总言之,一个样本假设测定的任务是在决定允许犯下推错误的机(即αlevel)后,我们要决定是否此样本是自具有某些特性(如有某值,或P 值)的母群体.如果,样本之某特性和母[在一定机误差(a probability of error)之水准下]相差够大,我们可以推此样本并非自此母群体(从另一角看,虽然这样本是由此母群抽样得的,但此母群内有些质的群体,此群体的特性与母群整体的或平均的特性同、故可视为是另一种母群体),或是此样本在此一特性方面能代表母群体,这些情况可是此样本特性与母在「统计上有显著差」(the difference is 自然,要能做以上之推的基本前提是我们要知道母群体之一些特性,在此单元讨的特性是样本与母群之平均及比、要测定的也就是样本与母群体间平均及比的差.比较差之基础就是建在我们对於样本平均及样本比之抽样分配的性质的解上.以样本平均(sample means)的抽样分配、我们知道其平均为母、而其标准差为σx(即σN),我们是由一母群中随机抽一样本,此样本之X只是Xs (所有可能的样本平均)之抽样分配中的其中一个而已,而且就我们对样本平均抽样分配的了解,绝大部份的样本平均会在其抽样分配之平均(也就是母)的±2 个标准差之内.因此,一个随机抽样而得到的样本的平均与母有差并是非常可能的事.而从事一个样本及母群体平均之假设测定,就是要决定是否此样本之X 开十分的远,远到此X出现的机是很小.从事假设测定的任务可以分成五个步骤.以下即以另一子进一步明和一个样本有关之假设测定的五个步骤:〈〉有人认为住校生的成绩一般而言较好,有些人则认为较差.因此某研究者即由住校生中以简单随机抽样法选出100人、然后又从教
务处得到全校学生之成绩,做成以下之资:全校学生住校生要测定住校生的成绩是否和全校学生同、我们可以下五个步
骤做假设测定:
1,出基本假定(making assumptions),并确定符合做此测定的要求;
2,明虚无假设(stating the null hypothesis)
3,选出抽样分配及建界区(selecting the sampling distribution and establishing the critical region);
4,算出测定统计(computing the test statistic);
5,做出决定并解释测定结果.
以下就以上面的子看这五个步骤:
1, 出基本假定(假定就是我们暂时去怀疑的事情、而假设是我
们要验证的),并确定符合做此测定的要求:
当我们从事一个样本的假设测定时,必须符合三个条件:
(1)我们的样本是一个由母群体中依EPSEM抽样方法得的(事实上,我们所学的所有统计分析必须符合此条件);
(2)如果我们要做平均之假设测定,自然要进一步假定资是以等距比尺测而得,或是依我们设计的变项所测得到的资是等距比尺的;
(3)我们要假定样本平均之抽样分配是一常态分配(在样本够大时,依中央极限定可做此假定),通常我们将这些基本假
定以下方式出:
模式(Model):随机抽样(Random sampling)测尺是等距比(Level of measurement 抽样分配是常态的(Sampling distribution isnormal)
2, 明虚无假设(Ho):所谓虚无假设(the null hypothesis)就是前述「解释2」的正式名称,也就是认为样本特性与母「无差别」的假设.换言之,在和一个样本有关的假设测定中(※在别种假设测定情况下,虚无假设之形式会有所同)、其虚无假设即为样本是由具某一特性之母群中得的.以我们的子而言、虚无假设就是住校生之平均成绩与全校学生无,亦即70分与72.5分之差别可归因於random chance.在形式上,
虚无假设是以Ho: =70 表示(此处之是指对住校生之成绩之假定,做此假定的根据是认为住校生的成绩与全校学生的相同).指出虚无假设为何是假设测定中的核心部份,因为整个假设测定就是在决定是否要拒绝虚无假设.相对於虚无假设的是所谓的「研究假设」(research hypothesis).
通常研究者当然是希望拒绝虚无假设,而研究者所相信的假设(如样本与母群体的差是真的)就是研究假设.研究假设可以几种型式出现,其中最简单的,就是假设样本所自的母群体并没有(或同於)虚无假设所假定之母群体的特性.但首先要指出的是,研究假设在假设测定中并无正式地位(除以下所之一尾或尾测定时).通常我
们的研究假设是以(H1: ≠70) 这种型式表示[将H1放在内、即突显其非正式地位.
3,选择抽样分配及建界区:一个样本特性(如平均)是否出现的机很小,是以此特性之抽样分配衡.在假定虚无假设为真的条件下,透过抽样分配、我们可以知道此样本值出现之机有多大(要特别注意的是,抽样分配有好几种;在此,我们仅针对样本平均之抽样分配做讨).如我们已知,X之抽样分配是一种常态分配、其平均为、标准差是σx(即σN).此外,我们进一步选择标准常态分配(即Z分配)进假设测定的工作.因为用Z分配、我们可以清楚的知道样本平均抽样分配各部份的面积,并可配合以下所界区的设定进假设测定的工作.而所谓的界区(the critical region),即我们事先决定抽样分配所涵盖之区域中、那一部份的区域是表示样本特性太可能发生之区域. 具体的,以X之抽样分配为、我们可以先决定某个抽样分配区域或面积(通常很小),而此区域即为一种发生的机、而此机因为很小,所以我们可以,如果虚无假设为真,则在此虚无假设下的抽样分配中、得到此样本平均是太可能发生的(亦即,有此种平均之样本被抽到之机会很小).此种界区[亦称拒绝区(theregion of rejection)]在样本平均之抽样分配是以Z分决定此区域之起点、此种Z分被称为Z( 界) [Z (critical).
图3 样本平均之抽样分配中之界区( 尾测定,Z (critical) = ±1.96)critical region critical region以上图为、Z (critical)即为±1.96,阴影部份即为对应此Z (critical)之界
区.由图3亦可知界区通常为一极小之区域,我们事实上是先决定此区域面积大小,以αlevel 表示、Z (critical)为±1.96时,α= 0.05.其他常用的αlevel为或0.001.建界区的目的是,当样本特性(如平均)是在此抽样分配之区域时,我们可以决定拒绝(reject) Ho为真(自然是在冒某种机之错误下).以我们的子抽样分配=Z分配(标准常态分配)α=0.05
4,计算测定统计:此即为算出我们样本特性发生的机为何.以我们的子,我们将样本平均72.5换算成抽样分配下之Z分(为何我们可以这0做研究一下基本假定),这Z分即为测定统计值(test statistic),亦称Z (obtained).因此,当样本平均为72.5 ,其Z分之计算为:= 10
∴Z (obtained) = 10;换言之,72.5 虚无假设所假定的母70,有10个标准误差之多.
5,做出决定,并解释测定结果既然72.5换算成Z分后为10,而Z (critical)为±1.96,我们可知,Z (obtained) = 10是在Z = 1.96之右边、所以72.5是在界区内、因此我们必须拒绝Ho为真之假设.也就是,住校生的成绩并是和全校生一样.如果Z (obtained)为1(如当σ= 25,而非2.5时)的话、那我们就能拒绝Ho,而必须在α= 0.05之显著水准下,在校生之成绩与全校学生之成绩间的差并未达到统计上之显著差.以上所述之假设测定的五个步骤是一个基本架构.在此严格的架
构下,研究者尚需决定件重要的事情:
1, 研究者必须要决定是否要做一尾(one-tailed)或尾(two-tailed)的假设测定;
2, 要选择αlevel. 肆,一尾及尾假设测定选择一尾或尾测定,是基於研究者对於样本所自的母群体有所预期.此预期是反映在研究假设(H1)的设定上.通常研究者是认为研究假设为真,而想要拒绝虚无假设.在上述子中、研究假设的
形式是(H1: ≠70).这只是研究假设的种形式中的一种.这种形式所表示之假设测定,我们称之为「尾测定」(a two-tailed test 这种形式之测定所表达之意义是研究者并确定母真正的特性是否大於或小於虚无假设所设定之值,如样本所自之母群体的平均,可能是大於或是小於H0中所之.在另一种情况下,如上所给予之某种期待、会引导研究者假设真正之母之值可能与虚无假设中所述之值间的差别有某种方向性,或研究者只关心往某一个方向的差别时,研究者可以用一尾的测定.一尾测定可以有个形式.当研究者预期真正的母是大於虚无假设所假定的值时,则研究假设是以如(H1: >70)的形式表示.但是如果预期真正的母是小於虚无假设所假定之值时,则以如

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