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质点动力学

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笫二章质点动力学目录
1,牛顿三定律与伽利略变换
2,力学量的单位及量纲
3,几种常见的力
4,牛顿定律的运用
5,非惯性参考系与虚拟力牛顿在1687年发表了具有里程碑意义的《自然哲学的数学原理》一书.牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群(环境)对该考察物体的作用归结为力、而该物体则在力的作用下按一定的规律运动.即环境物体力力的定律运动运动定律由此可见、动力学的根本任务就是回答在周围其他物体的作用下,所考察的物体如何运动.在牛顿以后,拉格朗日(J.L.Lagrange)和哈密顿(W.
Hamilton)等人以能量和作用量为基础、从另一途径建立了解决动力学问题的方法,这就是分析力学.分析力学和牛顿力学是等效的.一牛顿三定律和伽利略变换牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中、把运动规律归纳为三条定律,现分别叙述如下.
一、第一定律(惯性定律)
该定律最初是伽利略提出的,他设计了两个理想实验:
理想实验之一:当一个球沿斜面向下滚时,其速度增大,向上滚时速度减小.由此推论、当球沿水平面滚动时,其速度应不增不减.
理想实验之二:
说明:
(1) 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括;
(2) 第一定律定性提出了力和惯性两个重要概念:力是迫使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用;惯性是每个物体按其一定的量(质量)而存在的一种抵抗能力.
(3) 第一定律定义了一类重要的参考系-惯性系;
惯性定律:任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态、直到外力迫使它改变运动状态为止.
爱因斯坦说:伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一、而且标志着物理学的真正开端.当球沿斜面的顶端向下滚后,即沿对面的斜面向上滚,达到与原来差不多的高度.他推论、若没有摩擦力、减少后一斜面的斜率,球仍达到同一高度,但这时球要滚得远些.斜率愈小,球滚得愈远.若将后一斜面放平,球要永远滚下去.
二、牛顿第二定律
牛顿表述:运动的改变与所加的动力成正比、并发生在所加的力的那个直线方向上.确切的表述应为动量的变化率与(动)力成正比.
即(1)惯性的量度-惯性质量如图若取的质量为标准质量(可取=1),由于和都是可测量的,故的质量可以完全确定.这样,作为导出量的作用力F也就完全确定.用惯性大小定义的质量称为惯性质量.是一个绝对量,具有可加性.其单位称千克(kg).千克的标准是保存在巴黎国际计量局中的一个铂铱圆柱体.1原子质量单位= kg(2)笫二定律适用的参考系是惯性系;
(3)笫二定律是瞬时关系式;
(4)笫二定律是矢量式,使用时可用分量式
数学表达:
三、牛顿第三定律两个物体之间的作用力和反作用力、沿同一直线,大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上.
①作用力与反作用力的性质相同;
②作用力和反作用力是作用在不同的物体上,各产生其效果;同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消.
③适用范围:笫三定律不涉及运动,不要求参考系是惯性系;对于接触力、笫三定律总是正确的,而对于非接触力、该定律则不一定正确.
笫三定律是关于力的性质的定律,而不是动力学本身的定律.
物理学中的抽象和定义:伟大的科学理论及其形式常常起始于卓越的抽象与精当的定义、它们源于科学家对未知的复杂事物包括实验现象,一番深邃的缜密的反复的思考和分析.牛顿力学逻辑严谨的理论体系,是物理学理论首创的典范、三百多年来对物理学和自然科学乃至人类文明,一直有着深刻的影响.
四、伽利略变换实际上,上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时,在时空度量问题上隐含着更本质的内涵.如图,设有两个相对作匀速直线运动参考系, 相对于K的速度为u.取x轴沿相对速度u的方向,则伽利略坐标变换式若t=0时两坐标系重合,则
注意:叠加与变换的区别不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混, 叠加发生在同一个参考系, 变换涉及不同参考系.
伽利略变换蕴含的时空观-绝对时空观
3.关于长度测量一长度测量是绝对的
1.关于同时性-同时性是绝对的
2.关于时间间隔-时间间隔是绝对的二力学量的单位和量纲
一、基本量和导出量被选作独立规定单位的物理量称为基本量,它们的单位叫基本单位;其他量叫导出量,其单位叫导出单位.
长度L(m) 时间T(s) 质量M(kg)电流I(A) 物质的量(mol)热力学温度C(k) 发光强度(cd)
二、单位制
绝对单位制:先规定质量的单位、从而导出力的单位的单位制.
三、量纲
应用: ①在基本量相同的单位制之间进行单位换算.
②验证公式,检查等式的正确性.
③为推导某些复杂公式提供线索,或直接推导公式.表示一个物理量如何由基本量(包括这些量的幂)组合的式子,称为物理量的量纲.
量纲法则:只有量纲相同的物理量才能相加,相减,用等号相联系.
问题:验证平面极坐标系中各物理量的量纲是否相同三几种常见的力
一、万有引力与重力r
接触力:弹性力和摩擦力
非接触力(场力):万有引力
重力:地球对表面物体的万有引力mgmg
二、分子力与弹性力分子力即原子间的力.可用半经验公式表示弹簧力、正压力、支持力、绳张力-由于分子力、相互接触的物体因彼此形变而产生欲使物体恢复其原来形状的力.
胡克定律斥力引力
三、摩擦力物体与物体相互接触时,沿接触面两物体相互施以阻止相对滑动的作用力.分子力是产生摩擦的根本原因.
F
判断下列情况中的摩擦力的方向:
静摩擦力:
滑动摩擦力:
方向:与物体相对滑动趋势的方向相反
方向:与物体相对运动的方向相反干摩擦在目前的宇宙中、存在着四类基本的相互作用,所有的运动现象的原因都逃不出这四类基本的力、各式各样的力只不过是这四类基本力在不同情况下的不同表现.
四、力的分类
四种力:万有引力、电磁力、强力和弱力相对强度表征核子衰变的力质子和中子结合形成原子核电子和原子核结合形成原子恒星结合在一起形成银河系相互作用举例长程力适用范围m弱力强力电磁力万有引力四牛顿运动定律应用
一、动力学的典型问题可归结为两类:
笫一类问题:己知作用于物体(质点)上的力、由力学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态.
笫二类问题:己知物体的运动情况或平衡状态、由力学规律来推究作用于物体上各种力.
力是牛顿力学的核心概念.质点动力学问题的求解,关键是力.
二、约束:对运动物体的一定限制.
约束力:约束物对被约束物体所施的作用力.
主动力:大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力.主动力与约束条件无关,它的变化规律是已知的,如重力、粘滞阻力等.而约束力一般都是未知的,是一种被动力、须通过求解运动微分方程才能确定.
约束方程:物体作约束运动时,受到限制常表现为各坐标之间一定的函数关系.
例:如图,求每个物体的加速度消去a,得约束条件设动滑轮的中心坐标为x,加速度为a,由约束条件(绳长不变)给出微分两次,得AB例题2-1 有一轻绳索围绕在圆柱上,绳索绕圆柱的张角为、绳与圆柱间的静摩擦系数为、求绳索处于滑动的边缘时,绳两端的张力间的关系.
1,明确题意,确定研究对象.
2,隔离物体,受力分析,画受力图.
3,选取坐标系,列出分量方程式(包括约束方程).
4,解方程,讨论.
三、解题步骤:又
解:如图,选取研究对象,受力分析(如图,设圆柱右力大于左力) ,建立坐标系xy
整理以上方程可得:
X方向:
y方向:
讨论:如果
则:例题2-2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为空气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运动的物体,其速度将如何变化
据牛顿第二定律,运动方程为:yf
解:
运动物体所受力有:空气阻力方向向下重力mg方向向下
分离变量再积分:例题2-3 质量为m的物块置于倾角为的固定斜面上,物块与斜面间静摩擦系数为.现用一水平外力F推物块,欲使物块不滑动,F的大小应满足什么条件
解:如图,根据平衡条件取图上所示坐标,考察即将下滑时平衡方程的分量式为mN由⑴,⑵,⑶可解得即当作用力小于时物块将下滑.但F也不能太大,否则物块还可上滑.当物块即将上滑时,平衡方程为解⑷,⑸两式得即当F> 时物块上滑.综合以上结果,物块不滑动的条件为
解:以地面为参考系,并选用自然坐标系:
例题2-4 质量为m质点、沿半径为R的圆环的内壁运动,整个圆环水平地固定在光滑的桌面上.已知质点与环壁间的摩擦系数和质点开始运动的速率,试求:1,质点在任一时刻的速率;2,经过多长时间质点速度是原来的一半.
o分析受力、列方程,则有
综合(1),(2)两式有:
分离变量进行积分,并注意初值条件,有:当质点速度是原来的一半时, ,则例题2-5 一质量为m的物块拴在穿过小孔的轻绳的一端,在光滑水平台面上以角速度作半径为的园周运动,自t=0时刻起,手拉着绳子的另一端以
匀速v向下运动,使半径逐渐减少,试求:⑴角速度与时间的关系;⑵绳中的拉力与时间的关系.
解:在平面极坐标中、运动方程为
⑴根据题意由方程两边积分
⑵代入方程,得五非惯性参考系与虚拟力牛顿运动定律只在惯性系中成立.为在非惯性系中用牛顿定律求解物体的运动,需要引进适当的虚拟力.虚拟力若非惯性系相对惯性系平动时的加速度为、则
一、平动加速参考系-惯性力如果物体在加速参考系中的加速度为、而物体相对惯性系K的加速度为.为在形式上在系中运用牛顿定律,必须认为物体除受真实力F的作用外,还受一虚拟力的作用,即称为平移惯性力.真实力与惯性力的合力称为表现力.
虚拟力与真实力的区别:①不能指出是哪个物体作用,
②没有反作用力、③所有质点都受力、④只要选择惯性系,就可消除惯性力.例题2-6 一质量为m的木块静置于质量为M,倾角为、高为h的直角劈的顶部,劈置于水平面上,所有的接触面都是光滑的,试用非惯性系观点、求木块m相对斜面的加速度.劈的运动以地面为参考系来考察,在水平方向上Ma故如图,坐标系取在劈上,木块除受真实力N和mg外,还受惯性力.代入⑵式,即得
要求:把参考系建在地面上处理本题,比较其结果.由⑴,⑶式消去N,即得木块的运动方程为
思考:惯性力是真是假在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中、不时冠以虚拟力或假想力之定语于惯性力、以与真实作用力相区别、那是为了免除初学时概念上的混淆.其实,惯性力所产生的物理后果是真实的,惯性力也可以由测力器测出.过分强调惯性力的假想性,这在物理思想上是要被质疑的.爱因斯坦于1915年创立了广义相对论的理论基础、其基本原理之一等效原理,最初表述是,引力与惯性力实际上是等效的.
二、转动参考系匀速转动参考系也是常见的非惯性系.
1.相对于系静止的点、惯性离心力静止在系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内、在K系中看来,物体受力而在系看来,必须认为物体不仅受真实力F作用,而且还受虚拟力作用,两力相抵消,即惯性离心力当物体并不位于过原点且垂直转轴的平面上,离心力应写成
讨论:①重力与纬度的关系
惯性离心力的特点:
①离心力与转动参考系的转动角速度有关,与角速度是否随时间变化无关;②离心力与物体所在位置有关,与物体在转动系中运动与否无关.由于地球的自转,在地球上测得物体的重力并非是物体的真实重力、而是表观重力.如图, 是物体所受引力P和离心力的矢量和p由于故实际上由于自转效应、地球稍呈扁平, 较准确的结果是在两极处在赤道处而与的夹角,由图知为在上面讨论中未区分引力质量和惯性质量,若要区分,则如果惯性质量与引力质量不成正比、此角将因物体的质料不同而异.因而、若用细线将不同质料的物体悬挂起来,悬线将取不同的方向.匈牙利物理学厄缶利用此原理,在1908年完成了一个的证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实验.
②地球同步卫星定位于赤道上空地球同步卫星静止于地球上空、必须满足①表观重力为零.只有当时,引力和离心力的矢量和才有可能为零.故地球同步卫星只能定位于赤道上空;②卫星角速度恰等于地球自转角速度.即故地球同步卫星只能定位于赤道上空35630km.
2. 相对于系作匀速运动的点、科里奥利力若物体相对于转动参考系作相对运动,则由转动参考系的观察者看来,除了惯性离心力外,物体还受到另一惯性力的作用,此力称为科里奥利力(法国人G.Coriolis 1835年提出).
分析:如图,相对于惯性系,当质点m 以速度沿半径oc相对圆盘等速移动时,同时参与了两个运动,由A点运动到点.其切向速度不断增大,在内c如图所示作辅助线.两式相比、得其方向与质点相对于圆盘的速度垂直,并指向右方.显然,为使物体获得这个加速度,必须施物体向右的切向力在时,在弧段内可以应用匀变速直线运动公式.可以证明,物体在圆盘内沿任何方向运动时,都将受到一个与运动方向垂直的科氏力.在普遍情况下若以圆盘为参考系,在盘中观察者看来,质点m 所作的是沿半径的匀速直线运动,因此,必须认为除了力外,还有一个力作用在物体上.这个力与真实力大小相等、方向相反.其大小为其方向与质点相对于圆盘的速度垂直,并指向左.力是盘中观察者设想的力、是一个惯性力、即为科里奥利力. 使得地球是一个匀速转动参考系,科里奥利力在地球
上的表现:
①地面上北半球河流冲刷右岸、火车对右轨的偏压较大.南半球则相反.
②地球上自由落体偏东.
③傅科(J.L.Foucalt)摆直接证明地球自转.
④天气图上,高,低气压环流能长期存在.
①与相对速度成正比、故只有当物体相对转动参考系运动时才能出现.
②与转动角速度的一次方成正比.
③力的方向总是与相对速度垂直,不会改变相对速度的大小.
科氏力特征:
解释:落体偏东讨论在赤道平面内的自由落体.当不考虑科氏力时由于运动,科氏力为即科氏力的方向在水平面内指向东方由此得沿y方向的运动方程z
将上式积分,并代入初始条件:t=0, 得
再积分一次,并代入初始条件:t=0,y=0,得设h=80m,而、得y=1.6cm如果不是在赤道,而在纬度为处,则落体偏东距离为例题2-7 质量为m的小环套在半径为R光滑大圆环上,后者在水平面内以匀角速度绕其上一点o转动.试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面内所受的约束力.
解:如图,以直径OCB为极轴,位矢与极轴的夹角为. 与极轴的夹角为.在随大环转动的
参考系中、小环受到三个水平力:大环的约束力N(法向)惯性离心力(沿)其中CR科氏力(法向)为小环相对于大环速度,沿圆环的切线方向.
⑴切向加速度此式表明,小环的运动是以B点为平衡位置来回摆动.
⑵在自然坐标系中、水平面内约束力有小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向.两个参考系上的坐标系在初始时刻坐标轴和原点重合.随后S 系相对于S系以匀加速度运动,上图对应t 时刻两个坐标系上质点的位置.

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