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研究动机

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第壹章绪论研究动机数学不是配合技能发展,而是配合概念的发展(林福来,民82),当今数学教育也是强调概念的学习(NCTM,1991;教育部,民82).因此,对於学童概念研究,便极具重要性.而其中、「学童迷思概念」的研究,正是学童概念学习研究的重要一环,藉由迷思概念的研究,可使教师对学童的学习有所了解,进行诊断性的补救教学,当然这是较消极面的意义、其积极面的意义是教师了解学童的迷思概念后,可以做预防,在教学时统整於个人的学科知识与学科教学知识,进而设计配合儿童认知发展与思考模式的教学,如此才能落实有意义的教学.
小数在数学课程与教材中具有重要的地位、国外学者Hiebert 和Wearne(1983)以及Thipkong和Davis(1991)指出、近几年来由於受到计算机(calculators)和电脑(computers)的频繁使用以及强调公制(metric)系统测量的影响、「小数」在数学的课程日渐受到重视.国内学者赵文敏(民74)认为以小数来表示一个数,其在数学上的地位、在於其运算的便利性,小数虽是分数的一种表示方式,但同样在处理部分量的计算,小数计算可以延续整数的运算法则,而不需要像分数一般,另创一套新的运算规则.吴昭容在其博士论文(民85)中、也曾引用H. Eves的话-「随著人类文明的进步,天文,航海,工程,甚至战争等、在在都需要快速而精确的数值计算,这项需要已在四个重要的四大发明(印度阿拉伯数字,小数,对数,计算机)之下得以达成.」所以,小数虽是分数的一种特殊之表示方式,但在数学史上有其独立於分数的重要地位.回到实际面来看,在国内国小数学教材中、也都包含有小数的学习内容、不仅重视小数概念的获得,也加强小数基本的运算能力、「小数」已成为「数与计算」主题中不可或缺的一环了.
小数很重要、偏偏小数的概念却是十分复杂,学童在学习上常遭遇困难.根据最近十多年的一些评量报告或研究结果,发现学童在小数方面表现并不理想(周筱亭、民79;简茂发,刘湘川、民82;艾如昀、民83;吴昭容、民85;杜建台,民85;陈永峰,民87;刘曼丽,民87;刘曼丽,民88; Chien,1998; Graeber Tirosh 1990;Hibert Silver Hiebert,1986; Wearne Hiebert许多研究指出学童学习整数时较少有困难,但在学习小数与分数时,就有许多困难.而且学童学小数时常会因整数,分数概念而产生干扰(Hibert TonnessenBehr , Wachsmuth PostFischbin , Deri ,Nello WearnResnick , Nesher , Leonard , Magone , Omanson PeledBell , Greer , Grimison Mangan再加上小数在学童的日常生活中不易体会,不容易产生连结,以日常生活中使用最频繁的钱币为例,我们国家采用的币值较大,几乎是以一元为最小币值单位(虽有五角的硬币、但几乎不使用),所以整数的观念对我们较强烈,不像西方国家,一元底下还有许多常用的钱币单位(以美国为例国情的不同、造成我们对小数的感觉是陌生的,不易体会的.虽在生活中会有身高148.5公分,体重35.8公斤,汽水1.25公升的数字出现,但这度量衡后面的小数部分,我们常将之忽略,并不会对后面的小数部分产生特别的感觉.
研究者有幸参与刘曼丽老师所主持、研究的国科会计划达两年之久、重点是以小数为主,在从事施测,访谈,教学的过程中、深深体会到国小学童在小数学习上的不足之处,也因此因缘际会,使我个人对「国小学童的小数概念」产生很强烈的研究动机并由此找出研究方向.
研究者分析国内小数教材内容、发现国小学童在三年级所学的小数是一位小数,小数的内容与概念并不多.从四年级开始,是二位小数的引入,比起三年级的内容明显丰富许多,就小数知识结构(详见第贰章第四节之三)而言、仅仅少了「小数乘法与除法的计算与应用」的小数知识,整体的小数知识在四年级算是已经很完备了.四年级的二位小数学得好,才能进入五年级的三位小数,六年级的小数乘除计算及应用的学习.因此,研究者选定以国小四年级学童做为研究对象.
研究目的本研究尝试将过去有关小数的研究做一统整,分析学童的小数概念,正确列式与计算表现的关系,希望找出学童学习小数时的迷思概念,而由先前的研究报告与研究者本身的实际研究经验、都显示学童在小数学习上并不理想.面对新的数学教育思潮,学童在八十二年版小数教材内容的学习,其可能的迷思概念为何造成学童的这些小数迷思概念的可能的原因有哪些基於上述,本研究的主要目的为探讨国小四年级学童在学习小数过后可能产生的迷思概念及形成原因.
待答问题
根据上述研究目的,本研究欲探讨下列问题:
一、国小四年级学童在学习小数过后可能产生的迷思概念有哪些
二、学童产生小数迷思概念的可能原因有哪些名词解释
一、国小四年级学童:本研究所指的国小四年级学童是指从一年级起即接受民国八十二年版的课程,并在四上,四下接受了「二位小数加减」教学后的学童.
二、小数:本研究所谓的小数只以一、二位的纯小数与带小数为研究范围,并且只限於有理数的范围内.对於三位以上的小数,循环小数或无理数则不包括在内.
三、迷思概念本研究所称的迷思概念指学童对某一概念,因某些因素而产生与课本或教师想传达的概念不相容的概念.探讨迷思概念的问题是「你想它是什0 它为什0这样」.
四、小数迷思概念:本研究将「小数的迷思概念」定义为对於小数知识的「错误,混淆不清的想法或对事实不当的了解或解释」、而这想法是与课本或教师想传达的概念不相容的.
五、小数的意义:小数的单位量0.1就是,0.01就是,0.001就是.因此,小数的意义可由分数的联络来了解.而在目前现有教材内容及呈现的活动,都是透过分数来引入,藉由读,写,表徵等活动来让学童认识小数.因此,本研究将小数的意义界定为「从分数引入,经由读,写,表徵等活动来让学童认识小数的历程,它包含小数的引入,小数的读法,小数的写法,小数的序列等内容」.
六、整数法则,分数法则,零法则:这是Resnick(1989)等人针对学童在进行小数比较大小时,发现常犯错的类型可归纳出三种法则:(1)整数法则(小数点后数字越多其值越大,例如3.21>分数法则(小数点后数字越多其值越小,例如0.2>零法则(小数点后只要出现0其值就小,例如3>3.06).
第贰章文献探讨国小数学教育的新趋势由建构主义所衍生的建构主义教学理念,是现今国小数学教育的新趋势,唯有了解此一教学理念,才能有真正符合数学教育的内涵.
一、建构主义学习论从知识发展的过程来看,不论是传统的经验主义(empiricism),理性主义之后的实证主义、到近几十年来的建构主义、科学知识总是在因应新的实验所带来的理解和新的问题而不断地修正与成熟.
传统的科学哲学家,经验主义学者如休姆(D.Hume),洛克(J.Locke),理性主义学者如笛卡儿,莱布尼兹、实证主义者如韩培尔(Hempel),他们认为科学知识的发展是事实的累积,过去的知识和现在的知识,一直到未来的知识,会不断的延续下去而不会互相冲突或产生矛盾,因此教师的教学即是将教科书中的知识概念,灌输到学童的大脑中、学童被动地接受资讯,完全忽略学童主动参与的角色和学童学习前的先备知识.这种论点、为以后的建构论者所批评,他们对於科学知识发展的动态过程的重视皆胜过逻辑的结构,反对知识以累积的方式增长之说法,这些观点对於整个科学教育的意义非常的重要、因为它改变了学童学习,教师教学的方式.
建构主义论者所持的思想观点、主要有两大学派的不同来源:一为来自Piaget(von Glasersfeld, 1987)的研究成果,另一为来自 Griffin, Col的研究成果.在这两个学派思想中、皮亚杰学派(Piagetian)比较强调个人内在的知识过程,即「根本建构主义」、而维考斯基学派(Vygotskian)则比较著重在人际之间的知识建构过程,尤其是强调社会互动(social interaction)对学习的重要性,即「社会建构主义」.
(一)根本建构主义根本建构主义者认为知识的获得是基於下列二个观点(Von Glasersfeld, 1987,引自甯自强、1987,页30):
(1)知识不是被动吸收,而是由个体主动建立的.
(2)知识获得的方式是调融的,且其功用是在组织外在的经验世界、而不是用来发现已经存在於本体的真实.
上述二个观点与皮亚杰「基模论」中的「同化」(assimilation)与「调适」(accomodation)的观点是相容(Von Glasersfeld, 1987,引自邱显场、民87,页7).所谓的「同化」、是指个体运用其既有的认知结构去处理问题;也就是将遇到的事物纳入既有的基模内、这是一种既有知识的类推;而「调适」是指既有的基模无法直接同化问题,主动修改既有的基模已达成解决问题的目的(张春兴,民83).
(二)社会建构主义维果斯基将个人知识的来源分为自发知识(spontaneous)与正式知识(formal knowledge)两种、自发知识为儿童从他们与环境的交互作用中、自然获得的知识;正式知识为儿童以正式的方式经由学校的介入而获得的知识.维果斯基更提出下列认知发展的三个要义(引自张春兴,1994,页(1)社会文化是影响认知发展的要素.
(2)认知思维与语言发展有密切的关系.
(3)可能发展区(zone of proximal development)的理念与鹰架作用(scaffolding)的观点.
维果斯基在其钜著「思维与语言(Thought and Language)」中提到,思维与语言在某个关键时刻之前、是属於两个互相独立的发展曲线,但在某个关键时刻,两条曲线开始会合,於是思维变成语言的东西,而语言变成了智力的东西,而这也是心智发展中的最重要时刻(蔡敏玲,陈正乾,民86).因此,有必要使「思维的语法成为语言的语法」、透过从意义向声音转化的复杂过程,使言语思维本身更加完善(李维,民89).
为了心智完全地发展,儿童需要在与他人的互动中、透过人际间不断地互动,一起身体力行、以及具协商性对话(negotiated dialogue)历程而建构产生的(Gergen由於在对话的过程中、语言的使用能够使得彼此的经验客观化,让同一社群中的个体得以分享彼此的观点、成为知识建构的基础、更何况学习者也无法在「真空」的状态下学习,或抽离情境脉络而学习.因此,语言和社会环境在社会建构的历程中扮演极为重要的角色.
所谓的可能发展区、是指学童自己实力所能达到的水平,与经由他人给予协助后可能达到的水平,二水平间的差距、就是可能发展区.维果斯基在其可能发展区的理念中、提出鹰架作用(scaffolding)的观点.鹰架作用是指他人在可能发展区所给予的协助,也就是协助对发展有促进作用(吴金聪,刘曼丽,民87).而教育者的工作便是在儿童的「可能发展区」内、提供「鹰架作用」的协助.
由上述的论点可知,主动建构与合作讨论的社会互动,是建构数学知识的不二法门.
二、数学教育的新观点-建构主义教学理念在传统上,大多数的教师以讲述教学的方式来进行教学,这种学童的学习模式的背景理论是属於行为学派(张静喾,民85).行为学派认为知识的获得是被动的,学习也是被动的.这种传统的讲述教学法可能造成学童无法真正的理解,同化知识,未能达到教育之真正目的.
甄晓兰,曾志华(民86)曾对建构主义的教学理念内涵提出看法,认为建构教学理念相当强调「情境学习」(situated learning),一方面倡导合作的学习方式,一方面鼓励学童反省.合作方式的学习情境是「自由的」、「开放的」、也是师生共同建构和维持的;而反省的学习情境是充满刺激与挑战,质疑与辩证的,教师时常会安排冲突情境发生,以刺激学童思考解决之道.
国内资深数学教师邬瑞香(民82)秉持其持续探究的过程(ongoing inquiry)建立起其个人的数学教学信念,基於在教学的历程当中、一再的自我省思一「我想做什0样的数学老师」带动了她教学态度的转变和教学方式的突破,其所发展的教学模式如下图:
从邬老师所发展的教学模式中可以看到,数学教师不再是个解题的示范者、而是布题者、数学教师必须依据学童的旧经验布置一些生活化的,有意义的或非例行性的问题,以诱使学童思考和参与讨论数学的问题和概念,并且藉著鼓励学童透过质疑和辩证的方式,让学童学习批判,容忍异见、与欣赏评鉴数学价值的合作精神,进而达成共识,建构出共享的知识.观其教学模式,教师不再是拥有知识的权威者、而学童才是整个教学历程真正的主角,这种教学模式与建构主义的教学理念可说是一致的.而在黄敏晃教授与邬瑞香老师的推广下,该教学模式也成为新课程教师们常采用的教学方法.
而根据Saunders(1992)的建议,一个有效的建构取向教学策略应注意以下四点:(一)动手操作的教学活动:第一手直接的感官经验提供学童直接验证的机会,以便修改学童可能的认知冲突.(二)主动的认知参与:例如放声思考、发展另外的解释,诠释资料,参与认知冲突的活动等.(三)小组活动:学童可以从小组活动中得到许多好处,比大班级讲述式教学提供更多让学童认知重建的机会.(四)高层次的学习评量:如果没有高层次的学习评量,即是做到了前面三个建议,学童的学习仍然可能停留在一个低层次的阶段,而有意义的学习的机会将减少许多.
陈淑娟,刘祥通(民87)以合作行动研究的方式深入一个五年级的数学教室观察,试图寻出教师的困难所在及引导数学讨论的可行方式.经一学期的观察研究发现,教师的困难共有「时间不够」、「怀疑学童的能力」、「秩序难控制」、「布题能力」、「原型概念知识」(教师本身对教材内容的概念是否清楚),「沿著概念主轴追问的能力」(这里所指的追问能力是指在全班讨论时,教师根据学童说明的内容、需要澄清、扩展,深入的部分,进一步再提出问题挑战学童概念的能力、类似於曾志华(86)所提出的层层追问的功夫、而欲引导出具有辩证、澄清概念的数学讨论、除了要加强学科教材的知识外,教师首先需布一个能引燃学童讨论热情的好问题,善用复述,回应、挑战,追问以增进澄清概念的技巧,再运用「淡化」「强化」策略仅扣概念的主轴,并协助儿童「问题对焦」提升讨论之品质.
国小四年级小数教材分析本研究的四年级小数教材为民国八十二年版的教材,张凤燕(民80)根据国外的数学教育学者Porter(1989)以及英国数学教育委员会的研究,归纳出数学新课程有以下的特点:(一)概念性理解单元时间加长,注重概念性理解及问题解决的能力、而非一昧地强调基本演算能力的养成(二)教材宜少而精,删除不必要的教材,使教材分最少,而更有时间深入学习.
研究者以国小四年级的小数教材内容为例,来验证前面所述的新课程内容编排精神,我们并将之与民国六十四年的课程标准作一比较:表2-1 民国六十四年版与八十二年版在四年级小数教材内容的比较表六十四年版八十二年版比较( 一位小数的认识,化聚,进位与位值,比大小,加减( 二位小数的认识,化聚,进位与位值,比大小,加减( 三位小数的认识,化聚,进位与位值,加减( 公里、公尺;公斤,公克的度量衡单位小数的换算
○×在表2-1中、我们发现一样是四年级学童,八十二年的新课程标准只学到二位小数,而六十四年的旧课程标准却要学到三位小数,外加公里、公尺与公斤,公克的认识与化聚,八十二年新课程在四年级的小数课程中内容变少,就是前面所提到的新课程「概念性理解单元时间加长,教材少而精」的编制原则.
民国八十二年课程标准,在国小四年级的小数教材内容、主要是介绍二位小数的概念以及二位小数的加减.在二位小数的概念上,乃透过的联络了解「0.01」的意义、在连续量及离散量的情境下认识二位纯小数的说,读,位名及所代表的量.在二位小数的加减上,则分别在连续量及离散量的情境下解决二位带小数的合成,分解的问题,并利用直式纪录解题过程.
目前市面上所见的数学教科书,有国立编译馆(以下简称国编版),康轩文教事业(以下简称康轩版),南一书局(以下简称南一版),翰林出版社(以下简称翰林版),新学友出版社(以下简称新学友版)五种版本,以下分析各版本在内涵上,进度上的相同性与差异性,以做为本研究试题编制的参考、至於五家版本四年级的小数教材内容分析,请见附录一.
(一)从内涵上来看,五个版本的教材内容在四下结束时大都教到二位小数的认识与加减计算,不过只有国编版有所不同、在国编版的教材中并未发现有二位小数的加减内容、且国编版在小数的单元中并非独立,仍有安排整数除法,等值分数的比较、化聚(分母不一定为10)的内容穿插在小数的内容中、增加不少难度与内容.而就教材中教学内容来看,国编版有算式填充题的列式,国编版,南一版有定位板的使用,新学友版有以电算器验证答案,这是其特殊之处.而五个版本在教材中教学内容的相同之处,有情境布题,外在表徵方式(百格板,数学积木,量杯,尺、数线,图卡等)、直式填充题纪录等.根据台中师院刘好,易正明两位教授(民88)利用访谈及问卷方式调查「小学新课程数学科教材选用及教具管理情况」、指出国编版指引说明详细,但未充分提供教具,部分内容稍多或稍难;其它版本版面精美,生动有趣,教具充分,练习题嫌少,教材中对教材理念说明不足.
(二)从进度上来看,在四上的课程,仅康轩版在四上即引入二位小数的观念,翰林版虽在四上也有小数的单元、但仅是一位小数的复习,其它版本在四上并无小数课程,四下时,新学友版以一个单元介绍二位小数(二位数概念与加减一起介绍)、康轩版,南一版,翰林版皆以两个单元介绍二位小数(概念为一个单元、加减为一个单元)、国编版则以三个单元来介绍(概念为二个单元、加减为一个单元)、五个版本在小数教材的进度并不太相同.
综合以上的分析,得知欲评定四年级学童的小数概念,最好等到四年级快结束前夕或五年级一开始为测验时间较为合适,这样才不会受不同版本的进度所干扰.而在测验工具的设计上就要排除算式填充题的列式,定位板的使用与以电算器验证答案的设计,以免学童因熟悉度的不同而影响答题结果.而有关於是否加入二位小数的加减计算的试题,如果使用的是国编版的教材,建议不予加入二位小数的加减计算的试题.
迷思概念的特性与成因
一、概念所谓概念(concepts)就是个人将自己的经验加以归类整理建立起的类别(Mervis Rosch此外「概念」在英文中还有另外一种表达方式为conception,强调想像的过程或概念形成的的过程而非结果,如果用conception来表示结果,所表示的也是那种透过抽象或反省思考所产生的复杂产品、它是人类思考和了解的工具,亦是学习的基本单位、为了使概念更具体及易於了解,以下即采用Pines(1980)的「概念及概念的获得」中、所提到「圆锥形结构」加以说明.(如图2-2)
当我们由概念延伸部分推至其内涵部分,此过程称为概念化,当我们由概念的内涵部分推至其延伸部分,即是应用此概念.概念化的过程,可能导出不正确的概念内涵;同样地,若是对於概念的内涵特质不清楚的话、那0,其应用至各事例上,当会产生错误.由此可见、概念学习是一切学习的基础、因为只有正确撷取概念的意义、方可无限延伸、应用到有关事例上.
二、迷思概念我们从建构主义的学习观来看,个体在自然的状态下对自己的先前经验作抽象与分类,逐渐形成一些概念或想法,这些自行发展出来的概念或想法,有人称为先前概念自发性概念(spontaneous idea),素朴概念(na ve conception),直觉概念(intuitive conception),当这些个体自行发展出的概念或想法有别於某些特定科目的学者专家的概念或想法时,则称之为迷思概念
有关迷思概念的特性可归纳如下(钟圣校,民83):
(一)过程性:迷思概念是在概念发展或概念学习的过程中出现的.若以一直线表示概念发展的连续体,则迷思概念是出现在此连续体中的任一点.
(二)不完备性:在各类迷思概念的晤谈资料中、可发现大量的受访者、其回答不够完整,且这种不完整的答案,并不是表达力的问题,而是对问题的思考不够细密与周全,以致说出的概念也失之片面或零碎不够完整.
(三)非正统性:迷思概念不同於正统的,科学家的或专家的说法.
(四)思考性:迷思概念虽然是一种陈述出来的内容、但它含有概念思考的成分.
(五)个别性:有许多迷思概念及其想法是相当特别的,这是因为人们以自己的想法,将外在讯息内化到自己的认知结构中、用自己的经验来建构事物意义产生的,故所得之概念及想法相当具有个别性.
(六)普遍性:某些程序性知识迷思概念的普遍性较高.
(七)不稳定性:它是相当不稳定的,容易出现,也容易抛弃.晤谈前后不一致的迷思概念,实因学童对概念没有清楚的认识,因而没有确定的见解,想法易变,显得不稳定.
(八)顽固性:有些迷思概念虽经过一再讲解,但它仍会一再出现,这让学者们不得不承认其根深蒂固的存在事实.
对於造成学习者产生迷思概念的原因非常多,刘伍贞(民85)曾综合Sutton and (1986)及Blosser(1987a, 1987b)的研究,归纳出造成迷思概念的原因如下:
(一)直接的物质经验或从日常生活经验和观察得来.
(二)由通常的用语或隐喻的使用而来.
(三)从类比、字义的联想,混淆,冲突或知识的缺乏而来.(四)由正式或非正式的教学而来.
(五)由信念,被允许的意见或同侪的文化而来.
(六)来自一些与生俱来的理念.
(七)来自教科书的内容.
(八)来自教师教学的过程.而由许多国内外的学者(Strick,1982;Novac,1983;郭重吉、民77;钟圣校,民83;刘曼丽,民87)的研究中、发现迷思概念对於学童的学习具有很大的影响力.学童的迷思概念系经由学童自己原来的认知结构所习得,往往根深蒂固地存在於学童的概念架构中、除非面临认知冲突、否则学童的这些迷思概念不会轻易改变.我们由迷思概念来看其在数学教学上的意义、老师在进行教学时,若能了解学习者既有的认知结构是否存在迷思概念,学习者在学习时容易形成哪些迷思概念,如何运用适当的方法修正学习者已有的迷思概念,这将有助於教学者引导学习者进行学习.
三、直观法则理论(the intuitive rules theory)
Tirosh 和Stavy(1999)观察到在数学与科学教育研究方面学童对各种与概念无关问题的反应相当类似,这些问题的内容领域和推理的需求是不同的,但它们都有一些共同的特徵.由这些反应特徵可归纳出四种不同的反应类型,其中两种是属於比较类型:A多,B就多(MoreA0 more B);A同、B就同(SameA0 same B);另外两种是细分类型:任何东西都可穷尽(Everything comes to an end);任何东西都可被分割(Everything can be divided),这四种类型的反应与应用就构成所谓的直观法则理论(the intuitive rules theory).对於学童错误答案的诠释,可以此理论来说明学童在数学或科学问题的错误反应.这个理论有很强的预测能力、即当一个问题被描述,教师可根据这个问题的外在特徵和相关的直观法则理论来预测学童在这个问题的反应.以下将详述这四个直观法则:
(一)A多,B就多学童根据「显著量A比较多来判断问题中的B就比较多」.举例说明如下:
就上述图形来看,大多数的人会认为「因为线段CD比线段AB长,所以它包含的点数比线段AB多;线段CD包含线段AB上所有的点、而且还包含其它的点」(Tirosh这是A多,B就多的一个例子.
这个法则是许多迷思概念的主要错误模式,可用来解释小数比较大小中的「整数法则」、例如:3.45>3.6,那是因为3.45的小数部份是45,而3.6的小数部份是6,而45>6(显著量A),所以3.45>3.6(问题中的B).
这意谓著学童对问题的答案是由问题本身特定的外在特徵决定(如线段长),这个特徵可以活化直观法则,而学童不一定得对问题的特定内容或概念(如点的个数)有一些想法才做决定.
(二)A同、B就同学童根据「被比较的两个物体或系统的某一个量A相同(A1=A2),另一个量B也就会相同(B1=B2)」.可用来解释学童在小数的序列上会将小数点后的数字视为整数来读,例如「」、「」.这是因为从外在的数字表徵来看中的小数部分像是整数(某一个量A相同)、所以0.9在进位后就是0.10(另一个量B也就会相同).
在这比较的问题中、若忽略问题的内容领域(the content domain),则学童对於这些问题将会因「A同、B就同」的法则而得到错误的答案.
(三)「任何东西都可穷尽」、「任何东西都可被细分」
连续细分的问题是传统用来探究学童数学和科学概念的问题,在数学领域里、连续细分的问题是用来检验学童的「无限概念」(Tall在物理领域中、物质的连续细分是用来探究学童微粒物质的概念(Carey数学中并没有用到.「任何东西都可穷尽」法则可用来解释学童「缺乏小数的稠密性概念」(例如:学童认为在0.1和0.2之间,没有其他的数存在).
国小学童的小数迷思概念人类的生活中、由於整数的不够用,才产生了分数与小数.小数的英文是decimal,来自於拉丁文字decima,意指a tenth part也就是十分之一的部分,所以小数与分数有密切的关系.
就小数的意义而言、小数的单位量0.1就是,0.01就是,0.001就是.等等、小数记法中的「.」为小数点、是用来分隔整数部分与小数部分,一位小数是纪录十分之几的分量,二位小数是纪录百分之几的分量,三位小数是纪录千分之几的分量.等等、所以小数的意义可由分数的联络来了解.
而就小数的结构而言、小数延续了多单位记数系统(甯自强、民86),而将整数位值观念扩展至小数中、小数具有十进位构造的性质,以1为基准,每个单位是紧邻它右边单位的十倍、小数的结构可经由整数的记数系统的类比方式来了解,如下图.
在我国的教材中、小数的学习在整数,分数之后,而学童的小数概念是否会受到整数与分数的影响、 Magone, Omanson 以及Peled等人(1988)曾将小数与整数,小数与分数的异同性做一比较、发现小数知识和分数知识,整数知识有相似之处,但也有不同之处,详见表2-2,2-3的比较:表2-2 小数和整数知识的比较表(引自Resnick et alp.28)小数(decimal)知识的元素整数(whole number)知识的元素类似不同数字的值(column)
1.数字从左到右时,值会变小
2.左边数字是右边数字的10倍
3.「0」有位值的意义
4.一个数的最右边增加「0」时,其值不变
5.从小数点开始往右其值是递减的
4.一个数的最左边增加「0」时,其值不变
5.从个位数开始往左其值是递增的数字位名(column names)
1.小数点以后名称按数字次序读出
2.从十分位开始
3.位名顺序是从左到右(十分位、百分位、千分位.)
4.读数字顺序是十分位、百分位、千分位
1.没有小数点以后的数字
2.从个位开始
3.位名顺序是从右到左(个位、十位、百位.)
4.读数字顺序是千位、百位、十位、个位读的规则(reading rules)小数点左边整数部分按照整数读法读出、右边数字则依照数字次序读出C.读的规则(reading rules)依整数十进结构读出表2-2中小数与整数的不同点、也就是整数概念对小数正确概念的建构产生干扰的原因,而产生「整数法则」、「位值概念不清」、「将小数点后的数字读成整数」等迷思概念产生,这些迷思概念下一部分再做说明.
表2-3 小数和分数知识的比较表(引自Resnick et alp.29)分数(fraction)知识的元素A. 小数的值(decimal values)
1. 在0与1之间表达一个值
2. 整体被分成很多较小等分
3. 在0与1之间有无限个小数存在A. 分数的值(fraction values)
3. 在0与1之间有无限个分数存在B.小数符号(decimal notation)
1. 一个单位被等分成多少等分是隐含在数字的位置中
2. 有多少等分是表示在小数的量中
3. 整体仅可被分成10的幂次方(powers of 10 parts)B.分数符号(fraction notation)
1. 一个单位被等分成多少等分是由分母明确界定
2.有多少等分是表示在分数的分子中
3. 整数可被分成任何一个等分的数(any number of parts)
而表2-3中小数与分数的不同点、也就是分数概念对小数正确概念的建构产生干扰的原因,而产生「分数法则」、「分数与小数之间互换的概念混淆」等迷思概念产生,这些迷思概念在下一部份再做说明.
当今数学教育强调的是解题即概念的学习(NCTM,1991;教育部,民82).但是从国际数理教育评鉴(IAEP)1992年的报告中发现我们的学童在计算方面极为熟练、但在解题方面,虽然记得了各种类型文字提的解法公式,却无法推理思考(周筱亭、民84;刘曼丽,民87).「小数」在数的发展过程中扮演了一个重要的角色,在小学数学课程中自有相当的份量,从事小数教学的老师普遍认为小数教起来比分数容易,学童应该不会产生太大的困难,事实上,从这节中所探讨的学童小数迷思概念中、便可显示出学童在小数方面似乎学得不如老师们想像中来得理想,以下便是学童的小数迷思概念说明.
本研究所探讨有关的小数迷思概念是建立在小数知识的学习上,而四年级的小数知识,本研究系陈永峰(民87)根据民国82年教材分析,与小数相关的国内外研究,及评量报告,分析而得的「小数知识结构」、其中将小数内容分成「小数的概念」、「小数的计算」、「小数的应用」三大部分.其中「小数的概念」包含小数意义、小数位值,小数化聚,小数比较大小,小数稠密性和小数与分数的关系;「小数的计算」包含小数加法,小数减法,小数乘法和小数除法;「小数的应用」包含小数加法文字题,小数减法文字题,小数乘法文字题和小数除法文字题.再将其中属於五、六年级的部分(小数乘除法计算,小数乘除法文字题)去除,并与现有四年级的五个版本教材做比对、发现数线是一独立的活动,所以将数线独立为一个小数内容.而得出「国小四年级小数知识结构图」(图2-4):国小四年级小数知识图2-4 国小四年级小数知识结构图本研究参照上面小数结构图的想法,针对国小学童在小数知识上的迷思概念来做研究,以下是与国小四年级学童小数迷思概念相关之研究文献,至於有关小数的国内外研究,请见表2-4的汇整.
(一)小数的概念
1,小数的意义本研究将小数的意义界定为「从分数引入,经由读,写,表徵等活动来让学童认识小数的历程,它包含小数的引入,小数的读法,小数的写法,小数的序列等内容.」
学童在「小数的意义」方面的迷思概念为:要儿童说明小数的意义(例如:0.1)有其困难有其困难(周筱亭、民79).不清楚纯小数与1的关系,忽视整数部分,把小数当整数(刘曼丽,民87).学童十进位结构理解的错误,例如0.17是0到1中间分成20格中的第17格,且年级越低,对小数意义的理解越困难(杜建台,民85).
部分学童读小数时,亦将小数点后的数字视为整数来读(杜建台,民85;陈永峰,民87;刘曼丽,民87),例如的序列词.此迷思也符合直观法则理论(the intuitive rules theory)中的「A同、B就同」法则.且年级越低错误比例越高.
2,小数位值与位名的认识国外的研究中、Carpenter等人(1981),af 第二次,第四次调查报告(Kouba et al,1988)的结果均显示学童缺乏小数位值概念.
国内的研究中、潘耀圭(民71)在研究小数的运算中、发现中、高年级学童常会因为对位值概念的不正确而导致运算结果的错误.周筱亭(民79)则指出、由於学童对位值概念的模糊,导致往后在学习十进结构及小数运算材料时,产生学习上的困扰.艾如云(民83)的研究也发现,五年级学童在小数题型中犯错的原因,是由於学童对小数位数与其数值大小知识缺乏,因此若能加强此方面的学习,则能增进学童在各种小数题目上的表现.
学童在「小数位值」方面的迷思概念为:学童将整数的位名观念移植在小数位名上(陈永峰,民87).学童缺乏小数位值的基本概念,忽视小数点的存在(美国NAEP的报告(Carpenter,et al
3,小数化聚
四、五、六年级部分学童,虽较熟悉用运算方式理解小数的十进结构(例如:0.1与1的关系),但忽视概念知识与理解知识的获得(杜建台,民85).
中年级学童在小数的化聚上常犯的错误有:不清楚小数与整数的关系,直接将个数与单位合成(例如:36个0.1是0.36)(刘曼丽,民87).
4,小数比较大小Resnick(1989)发现学童在进行小数比较大小时,常犯错的类型可归纳出三种法则:(1)整数法则(小数点后数字越多其值越大).例如比较3.21和3.8的大小,3.21的小数部份是21,3.8的小数部份是8.因为21>8,所以3.21>3.8.这可能是儿童以整数的概念去解释小数的概念,也符合直观法则理论(the intuitive rules theory)中的「A多,B就多」法则.(2)分数法则(小数点后数字越多其值越小).例如小数大小时会觉得0.2大於0.41,因为0.41的位数较0.2的位数多所以比较小.他们可能推论小数位数越长会被分割成的部份就越小,所以它的值必定较小.(3)零法则(小数点后只要出现0其值就小).(Resnick,et al,1989)例如比较和3.6的大小.首先儿童选十分位数为零的小数3.09为最小,然后再依据法则一的规则认为6小於31所以3.6小於3.31.法则三的产生可能是儿童逐渐知道零表示没有、但仍然未完全发展出正确的位值概念.儿童只知道零是非常小的,因此认为十分位是零的小数必然也非常小.
根据杜建台(民85)的研究,小数中有0的数字或有小数点存在时,会对学童造成理解上的困扰,以及学童会自己建构出错误的比较大小的模式,并不只有上述的三个法则.吴昭容(民85)则发现四、五、六年级部分学童,进行小数比较大小时,其使用法则发展顺序,依序是不管小数点、整数法则,零法则,分数法则,正确者、而要完成小数比较大小作业不一定需要完整的小数大小概念,而可以利用数字结构性的线索或解题策略加以完成,所以必须能正确解决该作业与其下位试题者、方是真正具备小数比较大小概念的学童.
5,度量衡单位小数的换算根据戴政吉(民88)的研究,学童在度量衡单位小数的换算会有「仅有直觉型」的迷思概念产生,所谓仅有直觉型是指知道答案中的数字一定与题目中的数字有关,但无法判断两者的相对关系,故其答案内容仅含有题目出现过的数字,但无法理解问题与答案间的相对关系.例如:1公尺23公分=(1.23)公尺、1公尺5公分=(1.5)公尺.
至於学童在「度量衡单位小数的换算」方面的迷思概念为:直接将小数单位部分视为小数部分.(陈永峰,民87)例如:「3公尺7公分= 公尺」、作答错误的学童,其想法为:「因为3公尺7公分,7公分就是小数部分是0.7,所以是3.7」、这种想法,与戴政吉所订之「仅有直觉型」相同.
6,小数稠密性前面提到直观法则理论(the intuitive rules theory)中的「任何东西都可穷尽」法则,就是没有具备小数稠密性的概念.
学童在说出0.2和0.3之间的小数时仅有44%的学童答对、学童回答为何有其他的数介於这两数之间时,学童通常的回答是老师,或书本说的,显见学童缺乏小数稠密性观念.(杜建台,民85)而在刘曼丽(民87),Hart等人(1981)的研究中、也发现不少学童缺乏小数稠密性的概念.
7,小数与分数的关系学童在处理小数与分数的关系时,当分母是的情境下表现相当不错;但当分母是5时,要其化成小数则有些困难(陈永峰,民87;Wearne and Hiebert,1986).
当小数化为分数时,学童会依题目数字的个数决定分母、若题目的小数位数有2个数字则分母写10(例如:3.25=3),若题目小数位数有3个数字则分母写100(例如:1.736=1).分数化为小数时,直接把分子当成整数部分而把分母当成小数部份(例如=2.5);直接把分母当成整数部分而把分子当成小数部份(例如=5.2);不管分母的数字,就直接把分子拿来当成小数部份(例如=0.2).(艾如昀、民83;刘曼丽,民87;刘曼丽,民88;Kouba, Brown, Carpenter, Lindquiist, Silver Swafford;1988;Wearne
8,数线Wearne and Hiebert(1986)发现,一数线以1为单位、并将其分成十等份,要求学童在此一数线上,表示十分之几(小数第一位)的位置,学童较容易有正确的反应.若是分成五等份,学童要作出正确的反应、则有些困难.根据杜建台(民85) 的研究,则发现四、五、六年级部分学童,年级越高越能正确反应小数与数线对应的关系,但未能引用分数思考、将小数与分数视为独立系统而无关系.
(二)小数的计算-小数加减法把横式的加减乘除写成直式运算时,位值概念容易模糊而算错(周筱亭、民79).计算加减的错误率虽不高,但错误者、以小数点未对齐居多(艾如昀、民83).不同位数的小数加法,易把最末位对齐相加.(简茂发,刘湘川、民82).中年级学童在小数加减时,常犯的错误有:在小数点的概念上为未对齐小数点;在0的概念上,为只划掉最末位的0,小数点前面的0亦省略,整数最前面的0多写出来;在计算上,加法计算错误,减法计算错误,进位错误,退位错误,抄错数字,做-算或-做算,将不等位数的计算改以等位数来计算(刘曼丽,民87).
(三)小数的应用-小数加减法文字题Hiebert(1992)认为学童在加法和减法的文字题表现是不错的,是因为他们对加和减是熟悉的,对加和减文字题的情境较易掌握所致.由文献中显示、四年级学童在文字题的迷思概念并不多,而研究者以问卷调查从事小数教学的老师,发现四年级学童在小数文字题的迷思概念为「不懂题意」与「使用关键字」(共是『』,相差是『-』).
表2-4 小数知识的相关研究表小数知识研究者研究发现意义周筱亭(民79)只知模仿解题,却不知其义、要其说明0.1的意义有困难.杜建台(民85)学童十进位结构理解的错误,例如0.17是0到1中间分成20格中的第17格.
四、五、六年级部分学童(读二位小数时,易将小数点后的数字视为整数来读,年级越低错误比例越高.(2)年级越低,对小数意义的理解越困难.(3)将小数点后的数字视为整数处理或自行建构.
刘曼丽(民87)
中年级学童常犯的错误有:(1)在小数的意义上,不清楚纯小数与1的关系,忽视整数部份,把小数当整数.(2)小数的记法上,小数点的位置错误,将小数部分以国字表示.(3)小数部分精读,小数进位至整数错误.
位值与位名的认识吴昭容(民85)
四、五、六年级部分学童(1)在符号指称对象的连结,小数学习可能需要分数经验的前导,但符号符号向度的连结,小数的学习可能独立於分数.(2)处理小数的位值概念有困难,且与整数位值概念有密切关系.
陈永峰(民87)六年级实验班有五成以上学童将整数的位名观念移植在小数位名上.美国NAEP的报告(Carpenter,et al,1981)学童缺乏小数位值的基本概念,忽视小数点的存在.化聚
四、五、六年级部分学童,虽较熟悉用运算方式理解小数的十进结构(例如:0.1与1的关系),但忽视概念知识与理解知识的获得.
六年级传统班学童,处理小数化聚问题较常用计算方法得到答案,实验班较常用单位小数.
中年级学童在小数的化聚上常犯的错误有:不清楚小数与整数的关系,直接将个数与单位合成.
比较大小艾如昀(民83)
五年级学童在进行小数比较大小时,错误类型最多的有两种:一种是认为、小数点后位数多的其值最大;另一种则认为、小数点后位数少的其值最大.
四、五、六年级部分学童,较不易理解纯小数间的大小次序及其关系,尤其是三个小数的相互比较.
四、五、六年级部分学童,进行小数比较大小时,其使用法则发展顺序,依序是不管小数点、整数法则,零法则,分数法则,正确者;大部分学童虽未具有小数大小概念,但随使用小数时间越久、就越能发展出适用小数大小比较时的结构性线索.
六年学童在比较大小上,实验班有「0.60.09>0.385」的错误,其可能受「整数法则」、「分数法则」的错误概念影响.
中年级学童在比较大小时,常犯的错误有:位值愈多值愈大,只比小数部分而忽略整数的比较、小数比0小.
简茂发,刘湘川(民82)小数位数越少其值越小.Wearne and Hiebert(1986)学童在排列小数大小顺序时,常忽略小数点、而将小数看成整数来处理.
Resnick,et al学童在进行小数比较大小时,常犯错的类型可归纳出三种法则:(1)整数法则(小数点后数字越多其值越大).(2)分数法则(小数点后数字越多其值越小).(3)零法则(小数点后只要出现0其值就小).
学童以为小数点后数字多的,其值就越大.度量衡单位小数的换算戴政吉(民88)学童在「度量衡单位小数的换算」的迷思类型为「仅有直觉型」.例如1公尺5公分=(1.5)公尺直接将小数单位部分视为小数部分小数的稠密性学童在说出0.2和0.3之间的小数时仅有44%的学童答对、学童回答为何有其他的数介於这两数之间时,学童通常的回答是老师,或书本说的,显见学童缺乏小数稠密性观念.
小数与分数的关系艾如昀(民83);刘曼丽(民87,88)
当小数化为分数时,学童会依题目数字的个数决定分母、例如若题目有2个数字则分母写10,若题目有3个数字则分母写100.当分数化为小数时,直接把分子当成整数部分而把分母当成小数;直接把分母当成整数部分而把分子当成小数部份;不管分母的数字,就直接把分子拿来当成小数部份.
四、五、六年级部分学童,年级越高越能正确反应小数与数线对应的关系,但未能引用分数思考、将小数与分数视为独立系统而无关系.
一数线以1为单位、并将其分成十等份,要求学童在此一数线上,表示十分之几(小数第一位)的位置,学童较容易有正确的反应.若是分成五等份,学童要作出正确的反应、则有些困难.
小数的计算加减林军治(民75)把横式的加减乘除写成直式运算时,位值概念容易模糊而算错.计算加减的错误率虽不高,但错误者、以小数点未对齐居多.学童在小数加减运算时,会忘记标小数点.六年级学童,传统与实验两班级在小数加减的计算皆表现不错.在解题策略上传统班较单一化,实验班则较多样化.在计算规则上,传统班只会运用,但实验班还能说明其理由.
中年级学童在小数加减时,常犯的错误有:在小数点的概念上有未对齐小数点;在0的概念上,只划掉最末位的0,小数点前面的0亦省略,整数最前面的0多写出来;在计算上,加法计算错误,减法计算错误,进位错误,退位错误,抄错数字,做算或做算,将不等位数的计算以等位数来计算;在应用题上,计算错误,题意不懂.
不同位数的小数加法,易把最末位对齐相加.Wearne and Hiebert(1985)
学童做错小数计算,是因为不懂计算规则背后的原理,既缺乏小数概念,而且选用错误的计算规则以致产生错误的答案;且学童计算小数问题时,需经过三个决定:(1)如何将横式问题列为直式运算式.(2)计算数值的答案.(3)小数点如何放置.
小数加减时,最普遍的错误是来自於把符号当作整数处理,而非小数.
乘法放错积的小数点.98×」
S2:「0.07中的7比0.24中的2大,为什00.24大呢」
S:「因为0.24中的2是20格啊!」
(学童与学童之间的讨论观)
(二)制造学童的认知冲突、促进学童反思在教学时,能藉师或生提出认知冲突的问题,促进学童反省思考其数学知识,有益於学童迷思概念或作法的澄清、请看C1班老师在这一方面所做的努力.
单元主题:小数点后的0可以省略
T:「0.10也可写成0.1,为什0 」
全班:「因为小数点后的0可以省略.」
T:「为什0小数点后的0可以省略」
全班过了约10秒)
T:「如果不省略的话、我就可以写成而背后的0并没有实质的量,所以可以省略.」
全班:「喔~」
(老师提出认知冲突的问题与强而有力的解答观)
(三)利用数学语言的沟通,促进思维的语法成为语言的语法这一方面,C1班老师非常的强调、在一次教学后的访谈中、C1班老师提到了他的看法:
「我有看过李维翻译的一本书-『思维与语言』,当中提到,语言与小孩子的思维有很大的关系,透过数学语言的沟通与表达,会促进小孩子概念的发展」
(老师本人即有很强烈的『小孩子语言与思维的关系』的认知访)
的确,在C1班老师的教学中、常可以见到其班上学童的数学语言表达,老师会透过示范、教导的方式,让学童渐渐熟练数学语言该如何表达:
单元主题:数学积木的介绍结合「抢数字游戏」、练习一面画,一面讲.
S:「我画了0.4条,410条橘色积木.」
T:「我画了1个白色积木,相当於110,0.1条橘色积木.」
S:「我画了3个白色积木,相当於310,0.3条橘色积木.」
T:「我画了2个白色积木,相当於210,0.2条橘色积木.」:(看谁画到最后一格,即是输家)
(老师透过教导,示范的方式,多次练习,让学童熟悉数学语言的沟通-90.3.9观)
单元主题:百格板的介绍(四)进行增进澄清学童的概念技巧儿童的想法及语言在讨论中无法一开始就很精确,这是常有的现象,布一个能引燃学童讨论热情的好问题,协助儿童「问题对焦」提升讨论之品质,运用『淡化』和『强化』策略紧扣概念主轴,善用「复述」「回应」「挑战」「追问」增进澄清概念之技巧(陈淑娟,刘祥通,民88).C1班老师在针对问题问话做得较好,时常针对学童的回答进行更深入的问话、务求学童能清楚说明其想法:
老师布题:「15块白色小积木,等於多少条橘色积木」
(学童开始讨论)二位学童上来说答案,并说明为什0.(小组成员支援)老师先提问,并鼓励底下小朋友提问,
T:「为什0不写成『1.05』,而要写成『1.5』」
S:「因为1又510是1加510(在黑板写上1又510=1510),而510=0.5,所以就是10.5(在黑板写),就是1.5」
S1:「为什0不写成『15』」
S:「10.5是1.5啊!」
S3:「为什010.5不把1加到5底下」
S:「有啊!加到底下了啊!」
T:「他是问你为什010.5不写成1 这样」(老师澄清学童问题).
S
T(看著另一位同学):「来,你要不要说说看」
St:「因为这样加变0.6,加的时候要对齐」
(因直式算式纪录在以后才教,所以老师并未再深究)
T:「问一下底下同学还有没有问题」
St:「请问还有没有问题或是要我进一步说明」
(全班无问题,两位学童回座)
(这时,老师注意到一位同学没有在听)
T:「没有问题,来,○○○,你说说看,为什0答案是『1.5』」
T:「15可拆成多少」(教师写15= )
S:「10和5.」(教师写15=105)
T:「10块是多少条橘色积木」
S:「1条.」(在10的底下写1条)
T:「5块是多少条橘色积木」
S:「0.5条.」(在5的底下写0.5条)
T:「1条加0.5条,所以是几条吗」
S:「1.5条.」
(老师很注重学童答话的概念完整性,不断的发问观)
教师布题:如何快速知道百格板有100格(台下学童很注意听台上同学的发表,努力提问观)
单元主题:小数的应用
教师布题:100张纸装成一包、小青有1.58包、姊姊有2.76包、两人合起来有多少包纸
T:「100张纸装成一包、1张纸是几包」(指定一学童在座位回答)
T:「0.01张吗1张就是0.01张」
S1:「0.01包」
T:「1.58包是多少张纸」(指定一学童在座位回答)
S2:「158张.」
T:「158张,你是怎0知道的」
S2:「因为1.58可拆成1和0.58,就是100张加58张.」
T:「为什00.58包是58张呢」
S2:「因为1包里面有100份,占了58份.」
T:「2.76包是多少张纸」(指定一学童在座位回答)
S:「276张.」
T:「为什02.76包纸是276张纸呢」
S:「因为1包有100张,100乘以2等於200张,剩下的0.76包、1张是0.01包、0.76 有76个0.01,所以是76张,请问还有没有要我补充说明」
(能指定多位同学回答问题,使学童认真听课观)
(五)运算规则知识与数量表示知识的连结学童学习小数知识的四个阶段论(连结,发展,精致与熟练、萃化)中指引了我们教学时的方向,唯有重视指示物(数学积木,百格纸、直尺、数线)与运算规则的连结,学童才能有精致与熟练、萃化的发展.观察三位老师的教学中、C1班老师使用数学积木,百格纸来与小数加减的运算产生连结的活动较多:
单元主题:分数化小数
教师布题:10100=
S(用百格纸解释):「因为100是10个10,其中的10(用红色粉笔画出来)是0.1,请问还有没有要我补充说明」
(让学童利用百格板来说明观)
单元主题:小数的计算教师布题=教师布题先让各组讨论、请1组推选2位同学上台,第1人拿1.2的数学积木,第2人拿1.43的数学积木,并说明为什要这样拿.
之后写直式算式纪录,并用手上的数学积木说明给全班同学听观)
综观来看C1班老师的教学,似乎有较多的讨论、质疑辩证、操作具体物的活动,当然也不是所有的时间都是如此.但如果在较需要建立稳固概念,例如:数学积木与百格板的介绍;或是较抽象的符号运思的教学时,例如:小数的计算,这些活动就显得特别重要了.
二、资深专家教师提供的策略三位资深老师中的T1老师是国小教科书编辑委员,T2老师是高雄市数学科辅导员,T3老师是屏东县数学科辅导员,都是研究所毕业或在学童,服务年资也有一、二十年,是结合理论与实务的资深优秀老师,以下是他们针对一些学童的迷思概念所提供的策略.
(一)小数的意义
迷思概念:将小数点后的数字读成整数(例:12.36念成「十二点三十六」).
T1:小数的读法在国内与国外都是一样,例如:52.34国内读作「五十二点三四」、国外读作「52,3 」、以此说明小数点后的数字略读是因为简化念法,并经过约定俗成的.此外,要让学童对小数产生较佳的学习,具体物的操作一定不可少,尤其是小积木,百格版的介绍一定要常常使用.而在从事百格板,橘色积木,白色积木的教学时,宜强调单位量为何,厘清这些数学积木之间的彼此相对关系.
T2:小数点后如果精读会产生矛盾,因为譬如12.5可以写成12.500,如果精读则一个念成「十二点五」、一个读成「十二点五百」、感觉上会觉得「十二点五百」比较大,虽说「十二点五零零」也会有相同的感觉、但两相比较、似乎念「十二点五零零」会来的较恰当.
(二)小数的序列
迷思概念:以整数的序列来写小数(例
T1:学童会搞错,表示就是不够熟练、一年级的学童对整数很熟练、就是因为他常常练习,所对於小数的序列有必要多练习.
(三)小数位名与位值的认识
迷思概念:将整数的位名观念移植在小数位名上(例:12.36的个位数字是1,十分位数字是3).
T1:小数的位名学童表现不好,可以从小数的位值著手.
T2:问学童小数的位名较属於记忆性的问题,可以将重点放在小数位值的介绍.
T3:小数的位名的建立,当具体物的引入后,必须有半具体物来衔接,这样当学童要进行抽象的符号的理解才不会较突兀、我个人推荐位值板.
(四)小数的化聚
迷思概念:直接将个数与单位合成(例如:1.4是由14个0.01组成).
T1:学童在访谈时常会说是老师教的,事实上是学童以为自己学得的就是老师教的,所以鼓励学童提问,藉由质疑辩证的教学是很重要的.
T2:1.4是由个0.01组成,本身要经过较多的思考、进行抽象的思考前如能经常辅以具体物的操作,让学童了解1.4如何由0.01的累积产生的,会帮助他形成内化的知识.
T3:既然是小数的化聚,那学童对於一个数的分解,合成的工作就很重要、可能老师在教学时有必要加强学童会自己说,而且说得很熟练才好.
(五)小数与分数的关系
迷思概念:认为二位小数化为分数时,其分母是10(例:4.03=4).
认为分母一定是100,而不管几位小数化成分数(例
直接将分子与分母当作整数与小数部分或小数与整数部分(例=会直觉先写0,再点上小数点、最后将分子写在小数的部分(例=0.72).
T1:分数与小数对学童而言常形成两个不相关的系统,建议老师再教学时常常鼓励学童用分数,小数两种表示方式.
T2:常让小朋友建立单位分数,单位小数的习惯,例如:0.5就是有5个0.1或5个110.
T3:建议从小数的位值著手,并配合位值板的介绍.
(六)小数的稠密性
迷思概念:两个数间没有别的小数(例:5.8和5.9之间无法写入任何小数).
认为接近就是只能比题目的数少,不可以比它多(例:10.6因为比10.5多,所以就不是接近10.5).
先确定整数部分,小数部分是以数字来决定接近与否(例:10.6与10.5差1,10.48与10.5差较多,所以10.6 较接近10.5).
T1:小数的稠密性概念如果能配合较具体的数线与问题较易培养,譬如问学童「5.8与5.9之间有没有其他小数」、不如问学童「5.8与5.9中间分成10格,有哪些小数」、并配合数线来问会更好,因为学童有时并不是充分理解老师的意思、当这步骤进行顺利后才直接问学童「5.8与5.9之间有没有其他小数」可能会更有效果.
T2:可以玩猜数字的方式,例如猜2.89,老师可以分组竞赛、提示2到3之间,学童如果答2.5,可以说2.5到3之间.以这样的方式让学童有数值与稠密性的概念.
T3:用数线,直尺等具体物来辅助,配合适当的故事语言、如「放大镜一照.」或「人便成小矮人、跑到里面一看」.
(七)度量衡单位小数的换算
迷思概念:直接将小数单位部分视为小数部分(例如6公尺4公分=6.4公尺).
T1,T2,T3:公尺、公分既然在生活上常常看到,教学时就要多与生活结合,从学童的身高,教室的长度等的教学,配合让学童操作直尺、卷尺、皮尺等具体物,让它真正体会公尺、公分之间的关系.
(八)数线
迷思概念:为十格内的一格一定是0.1.
(例: 答案为5.8)一开始就细分格的数线都是从0数起.
(例: 答案为0.4)起始数数两次.
(例: 答案为1.05)
T1:教学中除了有全体数线(有起点0)之布题,亦宜有部分数线(起点非0)之布题,并让学童在质疑辨证中澄清概念,而澄清中可提「1.1」、「0.1」、「2.1」等位置标示的问题让学童思考、讨论.
(九)小数的加减
迷思概念:不管小数点、直接向右对齐(例: )
遇到被减数的小数位数比减数的小数位数少时,则直接将减数的数字写下来(例: ).
T1,T2,T3:在教符号的运算前一定要让学童纯熟的操作具体物,让他会做,同时也会说,这样才能进入符号的规则运算.
T1:请学童以横式纪录.
三、研究计划中的教学策略此部份是引用刘曼丽(民87)针对职前教师的小数教学知识之研究计划(计画编号:NSCS」中节录的部分专家学者提供的教学策略.其中、专家学者包括师院担任相关教学科目的教授,教科书编辑委员,硕士(硕士论文是有关学童小数知识或教学的),各地区的数学科辅导员及国小担任数学教学的资深教师共30人.
小数的读法
建议:可利用位值板列出(表甲)
与(表乙)对照,并列出表乙中表示3个十和6个一、读成三十六;表甲中表示3个十分之一又6个百分之一、若仿照表乙的读法,则为「十二点三十分之一六百分之一」极复杂,且语意不易明了又容易混淆,故将位名省略,读为「十二点三六」.
可以小数点后面加「0」的方式,例如12.36=12.360,如果念成「十二点三十六」与「十二点三百六十」似乎是「十二点三百六十」比较大,但实际上两者是相同的,藉此让学童产生认知的冲突.
小数的序列以具体物代表1及0.1的积木来排并利用数线辅助.请儿童说说看0.8变0.9多了多少,儿童会算0.90.8=0.1,然后说0.1,接著我会问那0.9多0.1是多少.儿童会算0.90.1=1.0然后说出1,让他了解序数的关系是很重要的观念.
利用位值板= 依序加至0.9后,说明位值与进位后的1.0的关系.
用具体物以0.1为单位累加.如右图,绘水杯等分成10份,第一份涂黑,要儿童表示成小数,儿童会说「0.1」再涂黑第二部份,要儿童表示、一直到
涂满整杯时,若儿童答:「0.10」;老师可画一整杯(未切成10份的),问一整杯怎0表示「1杯」、「这两张图所表示的水量一样吗」「一样」「那为何一个表示成1,一个表示成0.10 」
小数位名与位值的认识可利用位值板列出由具体的位值板归纳,让学童从「具体的位值板」、渐渐不依赖位值板,最后达到「心中有位值板」的境界.
小数的化聚再加强让学童操作白色小积木,橘色小积木,百格板,将三者一起呈现,让学童熟悉「1张百格板=10条橘色积木=100块白色小积木」的关系,之后任意配对、让学童更能灵活运用它们之间的关系.
利用位值板来教学小数与分数的关系
迷思概念:直觉先写0,再点上小数点、最后将分子写在小数的部分(例=0.72).
点化学童自我建构出=70.2=7.2之算式.=72个=72个0.1=7.2 当中对於10个0.1等於1是学童易遭遇到的困难之处,要让学童清楚的了藉此步骤才能往上累计.再进入带小数1.1是11个0.1引入正题.9.7呢循序渐进法,让学童在小数(分数)互转中建立自己的概念.
迷思概念:认为两个数间没有别的小数(例

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