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整数和有理数

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§5.3 有序环整数和有理数考虑同时有代数结构和关系的一种数学结构,有序环.
5.3.1 定义有序环六元组称为一个有序环,如果R满足以下条件:
(1) 是交换环.
(2) 是全序结构.(记ab且ab为ab).
(3) 任给a,b,cR,如果bc,则abac.
(4) 任给a,b,cR,如果bc且0a,则abac.
5.3.2 例,都是有序环.
5.3.3 定理是有序环,则是整环. 证证明消去律成立,即证明任给a,b,cR,如果ab = ac,则b = c.
反证法.如果b c,则bc或cb,有定义条件(4)得abac或acab,和ab = ac矛盾.■
5.3.4 定理是有序环.
(1) 任给a, bR,ab 当且仅当ab0.
(2) 任给a,bR,如果ab,则ba.
(3) 任给a,b,cR,如果bc且a0,则acab.
(3) 01.证(1) 如果ab,则ab = a(b)b(b) = 0.如果ab0,则a = abb0b = b.
(2) 如果ab,则ab0,所以b(a)0,因此ba.
(3) 如果bc且a0,则bc且0a,由有序环的定义(4)得(a)b(a)c,所以由(2)得((ab))((ac)),因此acab.
(4) 反证法.如果01不成立,则10,由10, 01和(3)得1011,所以01,矛盾.■
5.3.5 定理是有序环.
(1) 任给n, mN,如果nm,则n1m1.
(2) 任给n, mN,如果nm,则m1n1.
(3) 任给n, mZ,如果nm,则n1m1.证(1) 先用归纳法证明nn1,再对m用归纳法证明nm.详细证明留给读者.
(2) 由(1)和定理(3) 由(1)和(2).■
5.3.6 定理是有序环.如果是的子环,则是的子环.■
5.3.7 定理是有序环.令Rm = {n1 | nZ,则(1) 是子环.其中m = |Rm(2) 任给的子环,都有(3) ≌.■
5.3.8 定理是有序环.令R = {x | xR且0x,则(2) 如果a, bR,则abR.
(3) 如果a, bR,则abR.
(4) 如果a0,则aR或aR.证(1) 没有00,有01.
(2) 如果a, bR,则0a, 0b,所以0 = 000bab,因此abR.
(3) 如果a, bR,则0a, 0b,所以a0ab,因此abR.
(4) 如果a0,设aR,则a0,所以0a,因此aR.■
5.3.9 定义是环.S R.S称为R的正集合,如果S满足以下条件:
(2) 如果a, bS,则abS.
(3) 如果a, bS,则abS.
(4) 如果aS且a0,则aS.
5.3.10 定理是环,如果R存在正集合S,则存在R上的全序关系,使得是有序环,并且R = S.
证定义R上的二元关系如下:ab 当且仅当存在xS{0,使得b = ax.证明是全序关系.
(1) 自返性任给a, bR,都有a = a0,所以aa.
(2) 反对称性任给a, bR,如果ab且ba,则存在x, yS{0,使得b = ax且a = by,所以b = ax = byx,由消去律得0 = yx,所以yxS,由正集合的条件(2)得xS或yS,所以x = 0或y = 0,因此a = b.
(3) 传递性任给a,b,cR,如果ab且bc,则存在x, yS{0,使得b = ax且c = by,所以存在xyS{0,使得c = by = axy,因此ac.
(4) 可比较性任给a, bR,由正集合的条件(4)得abS{0}或(ab)S{0,abS{0}或b(aS{0,存在abS{0,使得a = b(ab)或存在baS{0,使得b = a(ba),因此ab或ba.再证明满足条件(3)和(4)条件(3) 如果bc,则存在xS,使得c = bx,存在xS,使得ac = abx,因此abac.条件(4) 如果bc且0a,则由0a得aS,由xS和aS得axS,存在axS,使得ac = abax,因此abac.■如果是域,则称为有序域.
是是两个有序环.R到S的同构是指:既是到的同构,也是到的同构.
5.3.11 定义扩张域R是一个有序环,F是一个有序域.如果F满足以下条件:
(1) R同构于F的子环S.
(2) 任给xF,存在a, bS,使得x = ab1.则称F是R的扩张域.
5.3.12 定理每个有序环都有扩张域. 证设R是有序环,令T = R×R.在T上定义二元运算,和二元关系如下:=当且仅当adbc
在T上定义二元关系~如下:~ 当且仅当ad = bc.证明~ 是等价关系.
(1) 任给T,由ab = ba得~ .
(2) 任给, T,如果~ ,则ad = bc,所以cb = da,因此~ .
(3) 任给, , T,如果~ , ~ ,则ad = bc, ct = ds,所以adct = bcds,由消去律得因此~ .证明~ 是正规的等价关系.
加法:如果~ 且~ ,则ab = ab且cd = cd,abdd = abdd且cdbb = cdbb,两边相加得adbd bcbd = adbdbcbd由分配律得因此~
乘法:两边相乘acbd = acbd,~ .
序关系:对0c,c0和c = 0分别讨论.当0c时,由cd = cd得0c,所以0bc, 0bc,因此当且仅当abcd bcbc当且仅当adbc 当且仅当.当c0时,由cd = cd得c0,所以bc0, bc0,因此当且仅当bcbcabcd当c = 0时,由cd = cd得c = 0,所以bc0, bc0,因此当且仅当ad0 当且仅当abdd0当且仅当abdd0 当且仅当ad 0令F =T,因为~ 是正规的等价关系,所以可以定义F上的二元运算,和二元关系如下:(记的等价类为)、证明是有序域.
(1) 任给, , F,都有所以.
(2) 任给, F,都有.
(3) 任给F,都有.
(4) 任给F,都有.
(5) 任给, , F,都有
.
(6) 任给, F,都有.
(7) 任给F,都有.
(8) 任给F,如果0,则a0.当0a时,存在F,使得.当a0时,存在F,使得.
(9) 任给, , F,都有
取S = | aR,取:RS (a) ,证明是R到S的同构映射.
如果(a) = (b),则,所以a = a1 = 1b = b,因此是单射.是满射显然.
(0) ,(1) ,又任给F,存在, S,使得=1.■设是R到S的同构,则R的扩张域是F = {(a)(b)1 |a,bR.
5.3.13 定理有序环R的任何两个扩张域都同构. 证设F和F都是R的扩张域,则F = {(a)(b)1 |a,bR}且F = {(a)(b)1 |a,bR.
如果(a)(b)1 = (c)(d)1,则所以ad = bc,因此从而(a)(b)1 = (c)(d)1.这样就可以定义F到F的映射如下:则是F到F的同构映射.■
5.3.14 例整数有序环的扩张域就是有理数有序域. 习题5.3
5.3.1 给出定理5.3.5的详细证明.
5.3.2 证明定理5.3.7.
5.3.3 是整数环,是有序环,则= ,是Z上的小于等于关系.

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